Geometria Esférica e Astronomia

 

Conhecimentos básicos de Geometria Esférica e Astronomia

“A Astrologia corresponde a Fisiologia dos corpos celestes assim como a Astronomia corresponde a Anatomia” (Adolfo Weiss).

A seguir os conhecimentos básicos de Astronomia e Geometria esférica para poder entender a mecânica celeste que alimenta suas interpretações, deduções e fazer a escolha do método do Sistema de casas que corresponda ao que se quer pesquisar.

Como os planetas na Astrologia são referenciados à eclíptica (trajetória aparente do Sol) vamos ter que usar ferramentas básicas da Geometria Esférica, tais como:

• sistema sexagesimal
• aritmética com coordenas  sexagesimais
• elementos de Geometria Esférica aplicados a localização de um astro: Conceito de Esfera Celeste, de Eixo do mundo, Polo norte e sul Celeste. Círculos máximos. Equador celeste. Círculos Horários. Meridianos,
• Eclíptica como círculo máximo.
• Sistemas de coordenadas esféricas:
  • Coordenadas terrestres – latitude e longitude geográfica. Fusos.
  • Horizontal (SE’, ZE) – plano do Horizonte, Zênite-Nadir
  • Equatoriais horárias (E’Q’, declinação) – Meridiano celeste e paralelo celeste
  • Equatoriais absolutas (alfa, delta) – círculo vertical, círculo Meridiano do local
  • Sistema eclíptico (longitude zodiacal, declinação) – signo zodiacal.
• Métodos de projeção de um ponto de um círculo máximo para outro.
• Trigonometria esférica.

Se o pesquisador não estudar estes conceitos e elementos básicos da Geometria esférica aplicada a localização de uma estrela, e o desenho de um mapa do céu em um plano simplesmente terá dificuldades de entender a lógica dos diferentes Sistemas de Casas. Por isso com satisfação vou desenvolver cada um deles em detalhes para facilitar o estudo.

Esfera terráquea e esfera celeste. Elementos fixos da esfera celeste.

Como sabemos nossa Terra é uma grande bola suspendida no espaço envolta por outra grande esfera, chamada de esfera celeste, que contem a atmosfera, o Sol, a Lua, os planetas, as estrelas…

Aparentemente tudo isto que está por cima de nós se inicia e finaliza no horizonte. Mas a prática mostra que esse horizonte em que o céu e a Terra se encontram nunca é possível alcançar porque à medida que nos aproximamos ele aparenta ficar igualmente longe, ainda o céu aparente estar abobadado. A prova de que a Terra é esférica é indiscutível na atualidade com o adianto da aeronáutica. Desfrutem no google das belas fotos que já temos do planeta Terra.

E assim poderíamos representar o céu em relação à Terra como uma esfera (a Terra) dentro da outra maior (esfera celeste) com um mesmo centro que vamos chamar de M.

Observando as estrelas durante uma noite poderemos observar que o céu todo em 24 horas gira em torno de um eixo uma volta completa, que vamos chamar este eixo “eixo do mundo”. O eixo do mundo é definido por dois pontos conhecidos desde a antiguidade chamados de polo norte e polo sul. Hoje sabemos que não é o céu que gira de Leste para Oeste, mas é a Terra que gira de Oeste para Leste, e como estamos na Terra vemos aparentemente girar o céu.

O eixo de giro da Terra é por tanto o mesmo do eixo de giro do céu e os polos norte e sul da Terra estão na mesma linha dos polos celestes: PNC – polo norte celeste e PSC – polo sul celestes

Eixo do mundo: Se chama eixo do mundo ao eixo PNC – PSC, entorno do qual vemos girar as estrelas e os planetas.

Para um observador na superfície da Terra, a esfera celeste aparenta girar em 24h em torno do eixo do mundo (PN-PS) uma volta completa, e junto a ela o Sol, a Lua, os planetas e as estrelas. O propósito deste estudo é ver como se pode encontrar com exatidão a posição de qualquer um dos planetas para um momento dado, como é visto por um observador local.

Elementos comuns da esfera celeste que serão usados em todos os sistemas de coordenadas:

• Equador celeste
• Meridiano celeste
• Paralelo celeste
• Círculo máximo: é um círculo da esfera celeste. Existem infinitos círculos máximos entre eles estão o equador celeste e a eclíptica.

Com estes elementos já podemos situar qualquer ponto na esfera (astro) em relação ao equador celeste (abcissa) e o eixo do mundo (ordenada)

Elementos básicos para a localização de um ponto em relação aonde se encontra o observador

• plano do Horizonte
• Zênite-Nadir
• Meridiano do lugar
• Primeira vertical do lugar

Sistemas de coordenadas esféricas

Vejamos a seguir os diferentes sistemas de coordenadas esféricas que podem ser usados para determinar a posição de um astro.

Para determinar a posição de um ponto numa esfera se precisa ao igual que em um plano, um sistema de referencia de duas coordenadas (abcissa e ordenada).

plano fundamental

Seguindo o método de localizar estrelas mais usado desde a antiguidade se define um círculo máximo chamado que determina o “ “plano fundamental” – círculo de referência que servirá para determinar a abcissa a partir da definição de um ponto zero nele.

A “ordenada” se toma como o ângulo entre o Astro e a sua projeção perpendicular ao círculo fundamental.

Para localizar as estrelas e os planetas se usam três Sistemas que usam esta ideia da abcissa e ordenada.

Lembremos antes como se localiza um ponto na Terra.

Sistema de coordenadas terrestres

O círculo fundamental é o equador da Terra. E o ponto de referência é determinado pelo Meridiano de Greenwich (na Inglaterra – ilha do ferro).

Os círculos máximos na esfera terrestre que passam pelos polos e cortam perpendicularmente o equador da Terra são chamados de “Meridianos” (Observar que os círculos máximos que passam pelos polos celestes são chamados de “círculos horários” ou “círculos de declinação”).

A partir de Greenwich, ponto zero, a longitude é medida em sentido horário e pode ser dada em medidas de arco ou de tempo. A latitude é medida a partir do equador em unidades de arco (graus, minutos, segundos), acima do equador positiva, abaixo de equador negativa.

Abcissa – longitude geográfica – letra grega lamba

Plano de referência: o equador

Ponto de origem: Greenwich

Sentido: ao Oeste (de 0º a 180º) ou Leste (de 0º a 180º) de Greenwich: Exemplo: 046º30’34’O ou 045º33’38’’L

Unidades: de arco

1 grau é 60 milhas náuticas

Ordenada – latitude geográfica – letra grega fi

Plano de referencia: Vertical

Ponto de origem: E’ – Projeção do ponto na eclíptica

Sentido:  a partir do equador da Terra, colocando a medida em arco com signo (+) ou o adjetivo boreal ou Norte se é para acima do equador e (-) ou o adjetivo austral ou sul se é para abaixo do equador  (vai de 0º a 90º)

Unidades: de arco 23ª32 S (latitude de São Paulo)_

Os meridianos terrestres também servem para a adoção de uma hora mundial. Para isto se divide a terra em doze fusos, para cada hemisfério da Terra, dividido pelo Meridiano de Greenwich, cada um equivalendo a uma hora de tempo e 15 graus de longitude.

Por Londres passa o centro do fuso zero, a partir do fuzo zero para o oeste as horas diminuem (-), e para o leste as horas aumentam (+). Ambas direções se encontram no fuso 12 que é dividido em 2 o lado Oeste é então um dia a menos que o lado Leste. Assim se viajando passa do lado Leste para o Lado Oeste deverá diminuir 24 horas, e se for do lado Oeste para o Leste aumentar um dia.

Sistema de Coordenadas Horizontais

Abcissa: A – se chama Azimut

Plano de referência é o horizonte

Ponto de referencia é a direção Sul projeção do PS no horizonte (intercepção do Meridiano local com o horizonte). Tem quem pegue também a direção N H como ponto de partida

Sentido: vai de zero a 360 graus na direção horaria (relógio) ou o que é o mesmo em sentido retrogrado segundo o movimento direto dos planetas ou das estrelas.

Unidades: de arco

Ordenada: z ou h = 90º – z

Plano de referencia: Vertical

Ponto de origem: Zênite

Sentido: z – do Zênite ao astro ou h (altura) – da projeção do ponto no horizonte ao astro

Unidades: de arco

Observe que neste sistema as coordenadas dependem de onde se encontra o observador.

Sistema de coordenadas equatoriais horarias

Abcissa: H – se chama “ângulo horário” ou longitude 

Plano de referência: o equador

Ponto de origem: Ponto do Meridiano mais perto do Zenite – é o ponto de intercepção do Meridiano do lugar e o equador celeste. O Meridiano do lugar é o círculo máximo que passa pelo polos celestes e pelo Zênite do lugar.

Sentido: -90º > H < 90º entorno do Meridiano local

Ordenada: distância polar p = 90º- delta

Plano de referencia: Vertical

Ponto de origem: PN ou PS em dependência da aproximação do Zênite.

Sentido: do Polo à Estrela de 0 a 180 graus

Unidades: de arco

Observe que neste sistema também as coordenadas dependem de onde se encontra o observador, através do ponto Meridiano.

Este sistema permite calcular a Hora sideral

HS = H (angulo horário) + alfa (AR)

Observe que HS é o ângulo horário do ponto Vernal.

Sistema de coordenadas equatoriais absolutas ou Sistema de coordenadas celeste  – usado pelos astrônomos

Abcissa: letra alfa ou AR – ascensão reta

Plano de referência: o equador

Ponto de origem: Ponto Zero de Áries – ponto vernal

Sentido: vai de zero a 360 graus na direção anti-horária (relógio) ou o que é o mesmo em sentido do movimento direto dos planetas e das estrelas.

Unidades: de arco ou de tempo

Ordenada – letra delta – declinação

Plano de referência: Vertical – círculo de declinação

Ponto de origem: E’ – Projeção do ponto no equador celeste

Sentido:  de E’ para o PN ou de E’ para o PS  – 90º < delta > + 90º

Unidades: de arco

Sistema de coordenadas eclípticas absolutas – usado pelos astrólogos

Abcissa – longitude eclíptica ou zodiacal (se informa a posição no signo em que se encontre o planeta ou estrela)

Plano de referência: o zodiacal

Ponto de origem: Ponto Zero de Áries – ponto vernal

Sentido: direção anti-horária (relógio) ou contrário ao movimento do céu ou o que é o mesmo em sentido do movimento direto dos planetas e das estrelas no zodíaco.

Unidades: de arco

Ordenada – latitude

Plano de referencia: Vertical

Ponto de origem: E’ – Projeção do ponto na eclíptica

Sentido:  de E’ para o PN (+) ou de E’ para o OS (-)  – 90º < delta > + 90º

Unidades: de arco

Esfera Celeste, plano fundamental e elementos usados no cálculo dos Sistemas de casas

Plano fundamental: se chama “plano fundamental” ao plano que corta a esfera celeste e vai servir como apoio e referência para a descrição e estudo dos movimentos planetários e direções.

Plano do Horizonte como plano fundamental

Definido o plano do horizonte onde se encontra o observador (e acontece o fato) como “plano fundamental” vamos definir sua “vertical” (vertical ao ponto de observação) o que seria o equivalente ao “eixo do mundo” determinados pelos “polos celestes”. Para isto basta traçar os “círculos máximos” que sejam perpendiculares ao “plano do horizonte”, a intercepção deles vão definir o ponto equivalente ao Polo norte, chamado de Zênite, e o ponto equivalente ao polo Sul, chamado de Nadir. A linha vertical é chamada de “linha zenital”. Observe que esta vertical não é um eixo de rotação dos planetas como é o eixo do mundo, por isso seu nome é só vertical.

Meridiano do lugar – hemisférios Leste (Oriental) e Oeste (Ocidental)

O “Meridiano do lugar” é um “círculo máximo” que passa pelo PN e pelo Zênite, este círculo cortara o plano do horizonte em dois pontos especiais que determina a direção norte e sul do plano horizontal. Por outro lado o plano deste meridiano divide a bobada celeste em dois hemisférios: o ocidental na direção Oeste e o oriental na direção Leste.

Círculo vertical: são os infinitos “círculos máximos” na esfera celeste que passam pelo Zênite e Nadir perpendiculares ao círculo horizontal.

Círculo primeiro vertical – hemisfério boreal e austral

Vamos definir também o círculo “primeiro vertical” que é um “círculo vertical” (que passa pelo zênite e o nadir) perpendicular ao “Meridiano do lugar”, este círculo vai cortar ao plano do horizonte em dois pontos que correspondem: ao Leste e o Oeste do observador. E por tanto este o plano dividirá o horizonte em dois lados, o boreal (lado para norte) e o austral (lado para o sul).

Movimento do Sol, da Lua e dos planetas

O modelo que vamos usar para estudar o movimento dos planetas considera a trajetória de todos os planetas como acontecendo acima da esfera celeste.

Os planetas são considerados pontos (não se tem em conta o seu tamanho, nem distância à Terra, o que importa é a direção em que se encontram.

Distância dos planetas à Terra

Sabemos que em relação à Terra, o Sol, a Lua e os planetas se movimentam em órbitas com distâncias diferentes ao centro da Terra, mas o que nos interessa da posição do planeta não é a sua distância à Terra, mas sua posição na esfera celeste em relação ao círculo máximo que se tome por referencia. Desta maneira no estudo a seguir não se considera a distância do planeta à Terra, só importa as suas coordenas esféricas (abcissa e ordenada). Desta maneira todos os planetas se consideram a uma mesma distância na esfera celeste.

Observador no Centro da Terra

Observe na figura a esfera interior representa a Terra e a esfera exterior a “esfera celeste”.

O observador se encontra no ponto S, dá para perceber que está no hemisfério norte e perto da Latitude  de 45º.

O Centro da Terra e da Esfera celeste é M. A distância de MS seria o radio da Terra.

O segmento MS é o diâmetro da Terra e o  segmento MZ o radio da esfera celeste. Bom na imagem o segmento MS é tipo um terço do segmento MZ, mas se formos representar tendo em conta as proporções reais entre o radio da Terra e a distância a que se encontram os planetas e as estrelas do centro da Terra,  o radio da Terra na figura seria um segmento muito pequeno, e seu valor nos cálculos do posicionamento dos planetas e as estrelas pode ser desprezado.

E assim o Plano do Horizonte se vai considerar que passa pelo Centro da Esfera Celeste e é chamado de Plano do Horizonte Verdadeiro. O plano real do Observador se chama Plano do Horizonte aparente. E o observador se considera estar então no Centro da esfera celeste, no ponto M. Observe que se mantem a direção do plano do Horizonte aparente.

Na prática a visão que o observador tem do céu é como se estivesse no centro da Terra, por isso é que desde um ponto de vista geométrico o plano do horizonte passando pelo centro da Terra é que é chamado de Horizonte verdadeiro.

A “Altura do polo norte do horizonte” (PNC a PNH)  é chamada de “arco polar” e equivale à “latitude geográfica do lugar” (letra phi).

Sol

O Sol em um ano dá um giro completo em torno da Terra descrevendo um “círculo máximo” chamado de “eclíptica”, cujo plano corta o equador celeste em dois pontos (pontos equinociais) formando um ângulo fixo de 23º37 com o plano do Equador celeste.

A eclíptica e o equador celeste se cortam em dois pontos distantes 180 graus.  O Sol passa por um destes pontos no inicio da Primavera para o hemisfério norte quando seus raios caem perpendiculares no equador da Terra, indo do hemisfério sul para o hemisfério norte. A este ponto se lhe chama Ponto equinocial Vernal, ou ponto vernal.

Na Astrologia ocidental este ponto se toma como o inicio do Zodíaco tropical, ponto zero do signo de Áries. O Sol passa pelo outro ponto de intercepção no inicio do outono, indo do hemisfério norte para o hemisfério sul, e ao ponto se lhe chama ponto equinocial outonal, e na Astrologia é o inicio do signo zodiacal de Libra.

O Sol então se movimenta sobre a Eclíptica a velocidade de um grau por dia no sentido anti-horário.

Atenção!!! – O que vemos todo dia não é o Sol percorrer a eclíptica

Observe na figura que o que nos vemos todo dia não é o movimento do Sol, da Lua e dos planetas em suas orbitas. Mas vemos eles girando em torno do “eixo do mundo” (eixo determinado pelos polos da Terra, da Esfera celeste).

Desta maneira em dependência de onde o Sol se encontre na sua orbita, assim como cada um dos planetas e pontos da eclíptica, eles terão um determinado arco diurno, arco noturno, um ponto de nascer e ocaso.

Na figura o Sol se encontra numa posição que tem um arco diurno bem maior que o arco noturno, o que corresponde então ao verão no lugar.

Experimente desenhar como seria se o Sol se encontrasse abaixo do plano do equador, você comprovará então que o Arco noturno será maior que o arco noturno.

Os planetas

Sabe-se que os  planetas se movimentam cada um com uma velocidade diferenciada em círculos máximos que se encontram entorno da eclíptica numa faixa, quando mais a uma declinação de 8 graus. Esta faixa é chamada de faixa zodiacal.

Sabe-se também que os “planetas anões” podem se distanciar mais de 8 graus, por exemplo, Plutão que chega a se distanciar 18 graus.

As efemérides planetárias são levantadas sobre a eclíptica que é dividida em 12 signos zodiacais tropicais (que toma o ponto vernal como zero).

Observe na figura ao lado o plano do Horizonte desenhado como o plano fundamental. O Zênite do lugar do observador, na vertical. Veja o plano rosa definido pelo Meridiano local, círculo que passa pelo PNC e o Zênite do local. Veja também em lilás-azul o círculo primeira vertical que define o eixo L-O, na sua intercepção com o plano Horizontal, Veja a Faixa zodiacal subindo na direção leste. Neste desenho em especial está desenhada o Zodíaco sideral, observe que o ponto vernal está em Peixes.

Faixa zodiacal: A faixa de 8 graus entorno da eclíptica onde sempre são encontrados os planetas até Netuno os astrólogos chamam de: faixa zodiacal.

Faixa zodiacal tropical: faixa zodiacal dividida nos 12 signos zodiacais a partir do ponto vernal.

Faixa zodiacal sideral: faixa zodiacal divida nos 12 signos siderais.

Agora visualizemos o movimento das estrelas e dos planetas desde a perspectiva do observador, que dura para todas 24 horas. Lembrando que na realidade é a Terra que gira em seu próprio eixo (o eixo do mundo – eixo celeste), mas como estamos na Terra o que vemos girar de Leste para Oeste é o céu todo e junto deles as estrelas e os planetas.

Eles nascem no hemisfério oriental, parte oriental do horizonte, alcançam sua altura máxima no Meridiano do lugar (culminação superior ou passagem pelo meridiano), descem até se pôr no hemisfério ocidental, parte ocidental – oeste do horizonte. Continuam descendo até chegarem novamente ao Meridiano, agora em seu lado invisível (culminação inferior), a partir de onde começam a subir ate nascerem novamente no horizonte.

Sabemos que as estrelas e os planetas se movimentam em círculos perpendiculares ao “eixo do mundo”, portanto círculos paralelos ao plano do equador celeste.

Se as estrelas não tiverem “declinação” (delta = 0), tanto seu arco diurno como o noturno serão de 180 graus. Se tem “declinação” ele se movimentará num plano paralelo ao equador celeste com uma distância “delta” do equador. Este círculo do movimento da estrela (planeta) vai ter arco visível diferente do arco invisível.

Arco diurno: arco do nascer ao por do astro.

Arco noturno: arco do pôr ao nascer.

Culminação superior: quando o astro no arco diurno se encontra com o Meridiano do lugar.

Culminação inferior: quando o astro no arco noturno se encontra com o Meridiano do lugar.

Nota: quando se fale só “culminação” está se referindo à culminação superior.

O segmento de arco que se encontra por cima do plano do horizonte do observador, quer dizer o “arco visível” se chama “arco diurno” e o segmento de arco por baixo do horizonte, invisível para o observador, se chama “arco noturno”. Observe que nesta  definição os adjetivos diurno e noturno, não fazem alusão ao dia e a noite, mas a condição do astro estar no campo de visão do observador ou não.

Se a latitude do observador for positiva, quer dizer o observador se encontra no hemisfério norte e a declinação do astro for positiva, observe na figura, o arco diurno será maior que o arco noturno. Para este mesmo observador se a declinação do astro for negativa então o arco diurno será menor que o arco noturno.

O movimento do Sol desde o seu nascimento a seu ocaso então seria seu arco diurno, e do ocaso ao nascer seria seu arco noturno. Observe que o arco diurno em unidades de tempo dá a duração do dia (tempo do Sol acima do horizonte). Enquanto que o arco noturno em unidades de tempo dá a duração da noite. Observe que quando o Sol está nos equinócios, quer dizer declinação zero, o dia tem a mesma duração que a noite, já quando o Sol se encontra no solstício de Verão para o hemisfério norte a duração do dia é máxima para um observador no hemisfério norte. Já quando a phi é positiva, mas a declinação é máxima negativa, quer dizer que o Sol se encontra no equinócio de inverno a duração do dia será a mínima para um observador no hemisfério norte.

Para um observador no hemisfério sul o raciocínio seria o mesmo.

Tanto o arco diurno como o noturno é dividido por o Meridiano local em duas partes iguais.

Semiarco diurno  SDA (Semi-diurnal-arc)

Semiarco noturno  SNA (Semi-nocturnal-arc)

Observe que em dependência de onde se encontre o observador, para um mesmo astro, estes semiarcos vão mudar.

Ângulo horário: ângulo entre o “círculo de declinação” (que passa pelo PNC e o astro para determinar a declinação do astro: distância ao equador celeste) e o Meridiano do lugar no lado em que acontece a “culminação superior”

No caso do Sol por exemplo seria 0 grau quando o Sol estivesse no meio do dia para o observador. A partir do meio dia iria aumentando o ângulo horário até quando volte novamente ao meridiano do lugar complete os 360 graus em 24 horas.

Unidades: de arco e de tempo

1h = 15 graus

4m = 1 grau

1m = 15 segundos

4 segundos = 1 segundo de arco